Carteras óptimas alternativas a la de mínima volatilidad de Markowitz - IEF
14 abril 2021

Carteras óptimas alternativas a la de mínima volatilidad de Markowitz

  • Autor: Laura Valls Sanchis
  • Tema: Gestión de carteras
  • Tipo de trabajo: Nota de trabajo

1. Introducción

Debido a la situación económica actual caracterizada por unos tipos de interés bajos, las remuneraciones de los depósitos son prácticamente inexistentes. Cada vez son más los individuos que deciden buscar alternativas para obtener mayores rendimientos y encuentran una gran variedad de instrumentos financieros. La nota se centra en las carteras de inversión, explorando nuevos métodos de optimización y observando cuáles han sido las consecuencias directas de la Covid19. Es importante la búsqueda de nuevos métodos de optimización debido a las abundantes objeciones que se les hacen a los modelos clásicos como serían los de Markowitz y Sharpe que se expondrán a continuación. La crítica a los modelos de «optimización» no es algo nuevo, especialmente (entre otros eventos) con la crisis de LTCM (donde falló también el modelo Black-Sholes), y evidentemente desde la gran crisis financiera (2008). Entre los críticos más conocidos de los modelos de gestión de riesgo están Nassim Taleb escritor de El cisne Negro, o Mark Spitznagel.

2. Metodología

La nota se divide en dos partes, en la primera parte se desarrolla el marco de la gestión de carteras, exponiendo tanto modelos clásicos como modelos alternativos. En la segunda parte de la nota, se realiza un estudio empírico en el que se crea una cartera compuesta por diez acciones estadounidenses representando distintos sectores, posteriormente se le aplicarán los distintos métodos de optimización seleccionados.

3. Métodos clásicos

Los dos modelos clásicos por excelencia en la gestión de carteras son los de Markowitz y Sharpe. Ambos pretenden buscar la cartera que minimice el riesgo, entendiendo este factor de manera diferente.

3.1 Markowitz

El modelo de Markowitz pretende encontrar las ponderaciones de los activos que al combinarse formen una cartera de mínima varianza que esté diversificada eficientemente. Markowitz en su artículo Portfolio Selection, destacaba la importancia de analizar las varianzas y covarianzas entre títulos para encontrar la proporción óptima. Matemáticamente:

Siendo Rc la rentabilidad de la cartera, ω_i la ponderación del activo i, ωj la ponderación del activo j, σij la covarianza entre el activo i y el activo j. La suma de ponderaciones de la cartera debe ser igual a 1, y no pueden existir carteras apalancadas, ya que el modelo no acepta las ventas a crédito.

El problema matemático no suele tener una solución única, dando lugar a un conjunto o frontera eficiente, en la que se sitúan las carteras eficientes según el criterio de media- varianza. Para la parte empírica el objetivo será encontrar la cartera de mínima varianza posible.

3.2 Sharpe

El modelo de Sharpe se puede interpretar de dos vías distintas. La vía clásica proviene la modelización de la línea característica de los activos, el objetivo es minimizar la varianza de una cartera, entendiendo esta varianza de una forma distinta a la de Markowitz:

Siendo Rc la rentabilidad de la cartera, ωi la ponderación del activo i, βi la sensibilidad del activo i al mercado, rm la rentabilidad del mercado, y σu el riesgo específico del activo. El modelo de Sharpe no admite ventas a crédito.

La vía alternativa, se basa en maximizar la ratio de Sharpe, que proviene del modelo CAPM. El objetivo es maximizar el exceso de rentabilidad que proporciona la cartera por encima del activo libre de riesgo, por cada unidad de volatilidad soportada.

Siendo RP la rentabilidad de la cartera, R0 la rentabilidad del activo libre de riesgo y σP la volatilidad de la cartera. Para la parte empírica de la nota, se asume que la rentabilidad del activo libre de riesgo es de un 0 %.

4. Métodos clásicos

Después de ver los modelos de optimización clásicos, este apartado tiene como objetivo mostrar métodos alternativos, que no son tan frecuentes en la realidad, pero que pueden obtener resultados sorprendentes.

4.1 Valor en riesgo condicional

El valor en riesgo es una medida de riesgo de una inversión. Indica la pérdida potencial respecto al capital o patrimonio inicial invertido, que se espera en un periodo de tiempo determinado (T) y bajo un nivel de confianza específico (𝜀). El modelo asume que las rentabilidades siguen una distribución normal.

Siendo ET la rentabilidad esperada de la cartera, σT la volatilidad esperada de la cartera y Kε el número de desviaciones tipo correspondientes al nivel de confianza. Sin embargo, el valor en riesgo condicional es una variación del VaR, proporciona mayor precisión, cuantifica las pérdidas esperadas que se producen más allá del punto de ruptura del VaR, realizando el promedio ponderado. El modelo a optimizar se expresa de la siguiente manera:

Sujeto a que la suma de las ponderaciones de los activos debe ser igual a 1, y no existen carteras apalancadas debido a que el modelo no admite venta a crédito. Siendo ω el vector de ponderaciones de la cartera, α el nivel de significancia, r la sucesión de eventos aleatorios, p(r) la función de densidad, f(ω,r) la función de pérdidas. Para la parte empírica de la nota se va a usar el CVaR al 95 %.

4.2 Sortino

El modelo de Sortino es una variación de la vía alternativa del modelo de Sharpe. La vía alternativa consistía en maximizar la ratio de Sharpe para encontrar aquella cartera que ofreciera una mayor rentabilidad por encima del activo libre de riesgo dado un nivel de volatilidad. Sortino efectúa una corrección en la ratio, cambia la medida de riesgo, incorporando la downside deviation. La downside deviation es una medida de riesgo que se centra en los rendimientos que caen por debajo de un umbral o un rendimiento mínimo aceptable. El umbral fijado para la parte empírica es la rentabilidad anual de cada activo.

Siendo Rp la rentabilidad de la cartera y R0 la rentabilidad del activo libre de riesgo. Por lo tanto, la ratio de Sortino se expresa de la siguiente forma:

Es un modelo muy utilizado en momentos desfavorables del mercado o cuando hay altas volatilidades. La suma de las ponderaciones de los activos debe de ser igual a 1, y no admite ventas a crédito.

4.3 Paridad de riesgo

El modelo de paridad de riesgo se centra en la contribución de riesgo que aporta cada activo. El objetivo es encontrar una cartera, donde todos los activos tengan la misma contribución.

La contribución de riesgo de cada activo en términos absolutos se puede definir de la siguiente manera:

Siendo σp la volatilidad de la cartera, σjp la covarianza entre el título J y la cartera.

El modelo de paridad de riesgo no admite ventas a crédito, por lo tanto, las ponderaciones de los activos deben ser positivas. El problema matemático consiste en conseguir que todos los activos contribuyan al riesgo relativo de la cartera en la misma proporción, por lo tanto, no es un modelo de minimización, sino de igualación.

5. Base de datos

 

Para la parte empírica he creado una cartera de inversión formada por 10 acciones de distintos sectores (Apple, ExxonMobil, Johnson & Johnson, Wells Fargo, Verizon, Walmart, Disney, MasterCard, The Home Depot, Microsoft). Una vez obtenidas las cotizaciones de todos los activos, he calculado la rentabilidad logarítmica de cada uno. Debido a que simplifica la complejidad de los cálculos, permite la propiedad aditiva entre los períodos, y el cálculo de probabilidades se basa en una distribución normal.

Es importante destacar que al tratar únicamente con las cotizaciones no se tienen en cuenta dividendos ni derechos de suscripción, pudiendo infravalorar la rentabilidad de los activos en algunos casos.

Para analizar cuál ha sido el efecto de la Covid19 en la composición de las carteras, he creado dos bases de datos con las mismas acciones, pero con distintos periodos temporales. El primer periodo temporal comienza en enero del 2010 y termina a finales de febrero del 2020, justo antes del efecto pandemia. Mientras que el segundo periodo temporal comienza en enero del 2010 y termina en diciembre del 2020 comprendiendo la pandemia.

6. Análisis

Para el análisis de la base de datos he hecho uso de la plataforma RStudio, es un software libre y de código abierto, dedicado a la computación estadística. Es una herramienta muy potente que permite programar cualquier proceso cuantitativo. La siguiente tabla muestra las diez acciones seleccionadas para la creación de la cartera.

Figura 1: Activos que forman la cartera
Fuente: Elaboración propia

Son acciones estadounidenses que pertenecen a sectores distintos, casi todas a raíz de la Covid19 experimentaron fuertes caídas a finales de febrero y marzo. Adquiriendo mínimos históricos, y percibiendo un aumento de volatilidad considerable. La siguiente tabla tiene como objetivo mostrar un resumen estadístico de los activos comparando las dos series temporales. Todas las cifras que aparecen en la tabla se expresan en porcentaje y la frecuencia de los datos es diaria.

Se puede observar que todas las acciones, excepto la farmacéutica Johnson & Johnson y la cadena de supermercados Walmart, han experimentado mínimos históricos durante la pandemia. La cotización de Chevron descendió un 25 % en un solo día. Al igual que la de The Home Depot que descendió un 22 %. Desde el 2010 hasta ahora nunca se habían visto caídas tan pronunciadas.

La mayoría de las acciones seleccionadas han tenido una buena recuperación, de modo que absolutamente todas han alcanzado máximos históricos de rentabilidad en un solo día.

Justo las dos acciones que habían sufrido un mayor descenso de rentabilidad son las que han obtenido mayor recuperación en términos relativos. Chevron consiguió que su cotización ascendiera un 20,5 %.

En cuanto a la rentabilidad media, la mayoría de las acciones durante el segundo periodo temporal han adquirido una rentabilidad ligeramente mayor a la que tenían antes de la pandemia. Este efecto va muy ligado a los ciclos de recuperación que han presenciado. Hay que destacar que Wells Fargo es la que ha obtenido un mayor descenso, ya que en el segundo periodo tiene una rentabilidad media que no llega ni a la mitad de la que tenía en el primer periodo.

En cuanto a la desviación estándar, es evidente que ha aumentado en todas las acciones, y así se ve reflejado en la tabla. La volatilidad de las cotizaciones es mucho mayor a la que había antes de la pandemia debido a las fluctuaciones. Por lo tanto, la renta variable se ha vuelto más arriesgada.

Apple y MasterCard son las acciones que proporcionan mayor rentabilidad diaria, siendo además las que tienen mayor desviación estándar. La acción de Johnson & Johnson es la menos arriesgada en ambos periodos temporales, pero alcanza niveles de rentabilidad inferiores.

Después de observar los activos particularmente, es importante analizar la matriz de correlaciones para ver cómo se comportan los activos entre sí. En las siguientes tablas se presenta la correlación entre activos en la situación previa y posterior a la Covid19.

En ninguno de los dos escenarios existen correlaciones mayores al 0,7. Por lo que no hay ningún activo altamente correlacionado. Walmart, Apple y Verizon son los activos que presentan menor correlación con el resto de los activos. Mientras que Microsoft, MasterCard y WFC presentan mayores correlaciones. Las correlaciones entre activos son más elevadas en la situación postpandemia que en la situación prepandemia.

Figura 2: Resumen estadístico de los activos que forman la cartera, frecuencia diaria de las cotizaciones
Fuente: Elaboración propia

 

Figura 3: Matriz de correlaciones en la situación de pre-pandemia
Fuente: Elaboración propia

 

Figura 4: Matriz correlaciones en la situación post-pandemia
Fuente: Elaboración propia

7. Optimización

Para la optimización de carteras se van a aplicar los distintos modelos expuestos anteriormente, utilizando ambas series temporales, para poder hacer una posterior comparación entre métodos y entre periodos.

En las siguientes tablas se pueden observar las ponderaciones de los activos de las carteras en la situación pre y postpandemia, y un resumen estadístico de cada caso (figuras 5 y 6)

Como era de esperar no todas las acciones han sido ponderadas en todas las carteras, las acciones de Apple, The Home Depot y Verizon están presentes en todas, debido al binomio de rentabilidad-riesgo que tienen. Sin embargo, las acciones de Chevron y Wells Fargo no han sido ponderadas, solo aparecen en la cartera equiponderada y en la cartera de paridad de riesgo, ya que hay obligatoriedad de ponderación de todos los activos. Son las dos acciones que aportan menor rentabilidad, además han experimentado caídas muy apuntadas durante la pandemia. En la mayoría de los métodos de optimización, si comparamos los dos periodos temporales se ponderan las mismas acciones, pero en diferente magnitud, aunque hay alguna excepción.

En la cartera equiponderada, cada activo tiene un 10 % de ponderación, por lo tanto, no se está teniendo en cuenta las correlaciones entre activos, ni las aportaciones de rentabilidad y riesgo de cada activo. La rentabilidad media anual de la cartera es de un 14,35 % antes de la pandemia, y de un 14,875 % después de la pandemia, así mismo, el riesgo de la cartera pasa del 14,25 % al 17,23 %, es un cambio bastante notable.

En la cartera de Markowitz, las acciones Johnson & Johnson y Walmart concentran más del 50 % del peso de la cartera, en ambos periodos temporales. En la primera serie temporal no se pondera MasterCard ni Wells Fargo, son las dos acciones junto con Microsoft que tienen mayor correlación con el resto de los activos, además presentan altas volatilidades. Por lo tanto, es razonable que no sean ponderadas, debido a que su presencia potenciaría el riesgo de la cartera, y no se estaría llevando a cabo una gestión de riesgo eficiente. En la segunda serie temporal tampoco ponderan las acciones Chevron y Microsoft por los mismos motivos, ambas tienen altas correlaciones, sumado a altas volatilidades, que las convierten en potenciadoras de riesgo. Las carteras de Markowitz ofrecen una rentabilidad media anual del 11,30 % y 11,87 % respectivamente. La cartera postpandemia es más arriesgada.

Figura 5: Ponderación de las carteras creadas con los distinto métodos, para los períodos pre y post Covid19
Fuente: Elaboración propia

 

Figura 6: Resumen estadístico de carteras creadas con los distintos métodos, para los períodos pre y post Covid19
Fuente: Elaboración propia

En la cartera de Sharpe, la acción The Home Depot tiene un peso importante dentro de la cartera, un 46,09 % y un 37,16 % en los respectivos escenarios de pre y postpandemia, es la acción que proporciona mayor rentabilidad por unidad de riesgo soportada, que es exactamente el objetivo del modelo de Sharpe. La acción Apple también tiene altas ponderaciones en ambos escenarios. Es la cartera que ofrece mayor rentabilidad con un 20,92 % en la situación previa a la pandemia y un 21,47 % en el escenario posterior, pero a la vez constituye la cartera más arriesgada con un riesgo del 16,33 % y un 18,55 %. Soportan aproximadamente un 5 % más de riesgo que las carteras de Markowitz, pero en cambio proporcionan casi un 10 % más de rentabilidad.

En la cartera que minimiza el valor en riesgo condicional, es el modelo que pondera menos acciones, pero se puede observar que, tanto en la situación previa a la pandemia como a la posterior, las acciones Johnson & Johnson, Verizon y Walmart, constituyen aproximadamente el 90 % de la cartera, debido a que son las acciones que tienen menor volatilidad. Se

puede observar que en ambas series temporales son las carteras con menor valor en riesgo condicional dado que es el objetivo de la optimización. Las carteras obtenidas tienen un nivel de riesgo ligeramente superior a la cartera de Markowitz, con una rentabilidad inferior.

En la cartera de Sortino, se obtienen resultados muy parecidos a los del modelo de Sharpe, la acción The Home Depot tiene aún más peso dentro de la cartera, situándose por encima del 40 % en ambos escenarios, también Apple es una acción importante para el modelo. La rentabilidad es prácticamente igual a la de las carteras de Sharpe, las diferencias no llegan al punto porcentual. Lo mismo sucede con el nivel de riesgo que se mantiene muy parecido. Las semejanzas entre ambos modelos se deben a que tienen la misma base matemática, y la principal diferencia es que Sortino utiliza la downside deviation, pero dado el escenario de altas volatilidades propiciadas por la pandemia dista muy poco de la volatilidad normal.

 

En la cartera de paridad de riesgo, todos los activos aportan la misma cantidad de riesgo, por lo tanto, las acciones con mayor riesgo tienen menor ponderación como es el caso de Wells Fargo o MasterCard, en cambio, las acciones con menor riesgo tienen mayor ponderación como sería el caso de Johnson & Johnson o Walmart. Es la tercera cartera con menor nivel de riesgo condicional, solo por detrás de los modelos de Markowitz y Valor en Riesgo. Es uno de los casos en los que se experimenta mayor cambio de estadísticas entre la cartera pre y postpandemia. Debido a que como es un modelo basado en la igualdad de contribución de riesgo, todas las acciones deben estar ponderadas, y absolutamente todas las acciones han aumentado sus niveles de riesgo debido a la pandemia.

8. Frontera eficiente

A continuación, se puede observar la frontera eficiente de Markowitz realizada para cada serie temporal, además he añadido las carteras optimizadas encontradas en el apartado anterior. El punto izquierdo de la frontera está constituido por la cartera de mínima varianza encontrada mediante la optimización de Markowitz, mientras que el punto derecho de la frontera es la cartera compuesta por el 100 % de MasterCard creando la cartera de mayor rentabilidad.

 

Figura 7: Frontera eficiente pre-pandemia
Fuente: Elaboración propia

Ambas fronteras son parecidas, sin embargo, la frontera eficiente postpandemia está ligeramente a la derecha creando carteras más arriesgadas, y está situada un poco más arriba indicando que proporcionan mayor rentabilidad. Según los resultados obtenidos en la optimización podemos emparejar las carteras de la siguiente manera, las de menor riesgo (Markowitz y CVar), las de riesgo intermedio (Equiponderada y Paridad), y las más arriesgadas (Sharpe y Sortino).

Las carteras que se sitúan en la frontera se consideran eficientes dado que para un nivel de riesgo concreto no existe otra cartera que ofrezca mayor rentabilidad.

Para la serie temporal previa a la pandemia se puede observar que son eficientes los modelos de Markowitz, Sharpe y Sortino. La cartera de Markowitz es dominante respecto a la cartera de CVar, debido a que soportando un nivel de riesgo menor es capaz de obtener mayor rentabilidad. En cuanto a la situación postpandemia, se observa que son eficientes los mismos métodos mencionados en la situación anterior. En este caso la cartera de paridad de riesgo domina a la cartera equiponderada, debido a que ambas tienen un retorno parecido pero la cartera equiponderada es mucho más arriesgada.

 

Figura 8: Frontera eficiente post-pandemia
Fuente: Elaboración propia

9. Conclusiones

Efectivamente existen modelos alternativos a Markowitz. Cada modelo de optimización tiene sus ventajas y desventajas por lo que no existe un único modelo universal. Cabe destacar que ninguna de las carteras construidas con los métodos alternativos mejora la frontera eficiente de Markowitz (ni antes ni después de la pandemia), algunas se sitúan sobre la misma frontera y otras son peores. Aunque existen modelos (o más bien carteras) alternativas es difícil mejorar las que se construyen según Markowitz. El modelo de Markowitz recibe numerosas críticas, gran parte pueden ser justificadas por el gran número de datos que necesita para aplicarse. Pero la eficiencia de las carteras que obtiene este modelo es indiscutible. Los métodos de optimización son útiles para completar la selección de activos y para su debida diversificación, pero no se deberían usar como herramienta principal en la creación de carteras, sino más bien como herramienta de apoyo. Debido a que son modelos estáticos y no prevén acontecimientos futuros. En cuanto a la Covid19, se ha podido observar que todas las carteras han adquirido un nivel de riesgo mayor, dado las altas volatilidades, pero las diferencias no han sido abismales, aunque la situación económica actual pudiera predecir lo contrario. La eficiencia del modelo de Markowitz queda reflejada de nuevo, ya que independientemente de la situación de mercado, vuelve a generar carteras óptimas insuperables por el resto de los métodos alternativos.

Glosario

  • Activo libre de riesgo: un activo libre de riesgo proporciona una rentabilidad cierta y segura, no tiene riesgo de insolvencia ni de ningún otro tipo, su varianza es igual a cero.
  • Correlación: la correlación es una medida estadística que indica la intensidad de la relación lineal entre dos variables.
  • Covarianza: la covarianza es una medida estadística que indica en qué cuantía dos variables aleatorias varían de forma conjunta respecto a sus medias.
  • Distribución normal: la distribución normal es un modelo teórico que se utiliza en estadística para predecir el comportamiento de una variable aleatoria en un escenario concreto.
  • Frontera eficiente: la frontera eficiente es el conjunto de carteras que tienen el máximo nivel de rentabilidad posible dado un nivel de riesgo concreto, o de forma homóloga, son las carteras que ofrecen un menor nivel de riesgo dado un nivel de rentabilidad concreto.
  • Línea característica: la línea característica de los activos es un concepto creado por William Sharpe, que consiste en relacionar la rentabilidad esperada de los activos con la rentabilidad del mercado.
  • Nivel de confianza: el nivel de confianza es un término que se usa en estadística para determinar la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en un rango de valores. Normalmente se usan los niveles 90 %, 95 % y 99 %.
  • Optimización: es el proceso mediante el cual se obtienen las ponderaciones de los activos financieros que forman una cartera persiguiendo un objetivo en concreto, por ejemplo, minimizar la varianza, reducir la pérdida potencial o maximizar la tasa de crecimiento.
  • Ponderación: es el peso que tiene un activo financiero dentro de una cartera de inversión o portfolio.
  • Portfolio: un portfolio o cartera es un conjunto de activos que posee un inversor. Los activos pueden ser de distintas tipologías, por ejemplo: acciones, bonos, materias primas o derivados.
  • Varianza: la varianza es una medida estadística de dispersión que indica la variabilidad de un conjunto de datos respecto de su media aritmética.
  • Ventas a crédito: las ventas a crédito son un tipo de transacción en las que el comprador recibe el bien o el servicio en el momento, y lo paga en diferido en un momento futuro.
  • Volatilidad: la volatilidad es una medida de riesgo, que se define como la desviación del precio de un activo con respecto a la media de su cotización histórica en un periodo determinado.

Agradecimientos

Agradecer a todos los profesionales que componen el Máster en Finanzas del IEF por el aprendizaje recibido, y en especial a Salvador Torra por darme la oportunidad de participar en el ODF.

Sobre el autor

Laura Valls Sanchis es consultora junior en TradeHeader.

Bibliografía

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