Documento
de Trabajo

Número 4
Octubre 2010

Introducción a los derivados sobre volatilidad; definición, valoración y cobertura estática

Jordi Planagumà i Vallsquer

Este artículo es una introducción al mundo de los derivados sobre volatilidad. Se verán las definiciones de los swaps de volatilidad (volatility swaps) y de varianza (variance swaps). Para los swaps de varianza se presenta cómo calcular el precio del producto y como construir su cobertura estática a través de una cartera réplica, en este punto se verá la relación existente entre la gestión tradicional de carteras de opciones simples (vanilla) y el mundo de los swaps de varianza.

Introducción
De todos es conocido el salto que supuso en la década de los setenta la aportación de Black– Scholes (1973) en el mundo de la evaluación de los derivados. A pesar de reconocer la vigencia del uso de su fórmula, podemos destacar que uno de sus puntos controvertidos es la asunción de volatilidad constante, que ha demostrado ser del todo falsa, pero que las mejoras introducidas en el modelo (por ejemplo la construcción de superficies de volatilidad) han permitido su aplicabilidad a lo largo de más de tres décadas. La parte positiva de esta hipótesis es que facilita enormemente el cálculo y permite conseguir una fórmula bastante intuitiva y de rápida aplicación. La vertiente negativa es la rigidez que confiere al modelo ya que la realidad en el mundo de los derivados demuestra que las distribuciones de probabilidades de los activos suelen tener distintas patologías: la falta de simetría en las distribuciones, los saltos, las colas pesadas y la dependencia de la volatilidad tanto en el tiempo como en el plano del activo (1).

Objetivo
Se pretende desarrollar los derivados que podemos llamar de segunda generación, concretamente el caso de los derivados sobre volatilidad. Los definiremos, hablaremos de su precio y de cuál es su cobertura, así como se analizará la relación entre los derivados sobre volatilidad y los derivados estándares (vanilla). Todo ello desde la perspectiva del “mundo” Black–Scholes y utilizando la formulación tradicional de valoración de derivados.

La vega dentro del mundo Black–Scholes

Usar el modelo de Black–Scholes (BS) implicará considerar para la gestión todas las derivadas parciales (sensibilidades) de la fórmula de BS en los distintos parámetros de la opción. La delta y la gamma, primera y segunda derivada de la prima respeto al subyacente, la theta, sensibilidad al tiempo, y la vega, sensibilidad a la volatilidad.

A pesar de la hipótesis (poco realista) de considerar que es posible la cobertura continua y sin costes de transacción, la gestión por griegas, tanto la de delta cono la de gamma, resulta desde un punto de vista práctico bastante factible.

Contrariamente, la gestión de la vega ya presenta desde un primer momento un problema de definición. Para aplicar la gestión delta–gamma sólo es necesario comprar/vender la cantidad de subyacente determinado por las expresiones derivadas de la fórmula de BS; no es así con la vega, dado que no es posible comprar o vender volatilidad directamente como si de un activo se tratara. Así pues, ¿Qué alternativas existen para la gestión de la vega?

En primera instancia podríamos asumir totalmente la hipótesis de volatilidad constante y por tanto considerar que la opción tiene riesgo ligado al movimiento del subyacente pero no a la volatilidad (2). Otra vía es usar otras opciones para conseguir una cartera que tenga una vega neutra; es decir, posiciones en otras opciones que tengan una vega equivalente pero en sentido contrario. Este camino sería correcto si la hipótesis de volatilidad constante (en tiempo, nivel de subyacente y strike) fuese cierta. Por lo tanto lo que acabamos teniendo es una cartera de n opciones y n subyacentes con una vega igual a la suma de vegas de las opciones que la conforman.

En resumen, se tiene un producto con sensibilidad a un parámetro que no es directamente observable, que no se puede comprar/vender directamente, que es difícil de estimar estadísticamente y que modelizarlo es muy complejo.

Tipologías de volatilidad

Viendo que será difícil la gestión de la vega directamente, se puede (dando por buenas las hipótesis de BS) gestionar la cartera de opciones siguiendo estrictamente la delta y la gamma en cada momento, esperando que esta cobertura proporcione un resultado independiente de la volatilidad. Dicha gestión conduce a considerar tres volatilidades distintas.

En primer lugar, la que se aplica a la formulación de BS y que da unos niveles de delta y gamma que se usarán para gestionar la posición, la llamaremos σbs; en segundo lugar, la volatilidad propia del activo σR, que formalmente podemos definir como la desviación estándar anualizada de los rendimientos del subyacente en un cierto periodo de tiempo. Ésta última, la podemos llamar volatilidad realizada. Y finalmente, la volatilidad efectivamente capturada por nuestra gestión σg (3), se calcula de forma análoga a la realizada pero los precios usados para calcular la desviación son aquellos a los que el gestor ha operado.

Por tanto, vemos que las opciones están condicionadas por la volatilidad, su resultado depende enormemente de ella, pero no dan de forma sencilla la exposición pura a este parámetro. Así pues, el resultado por vega será una expresión que dependerá de la diferencia de estas volatilidades. ¿Cómo será esta expresión? ¿Y cómo se puede conseguir tener exposición directa y única en la volatilidad?

Permuta financiera (swap) de volatilidad

La respuesta se encuentra en los derivados sobre la volatilidad. Se introducirán primero los swaps de volatilidad, que básicamente son contratos forward sobre la volatilidad realizada futura, los cuales dan únicamente exposición a la volatilidad.

Un swap de volatilidad (volatility swap) sobre un activo es un contrato forward sobre la volatilidad anualizada, que tiene por pago (payoff):

donde σR (S) es la volatilidad realizada por el activo (anualizada) formalmente:

donde σt es la volatilidad estocástica del activo, Kvol es la volatilidad anualizada de entrega y N es el nominal del contrato. Así, quien compra el swap de volatilidad recibirá N euros por cada punto que la volatilidad del activo σR (S) supere la de entrega (Kvol ), respectivamente pagará N euros por cada punto Kvol que supere a σR (S). Por lo tanto se está intercambiando (“swapeando”) un nivel de volatilidad fijo (Kvol) por un nivel de volatilidad futura σR (S), similar a lo que se hace en un swap de tipos de interés.

En la práctica hay que aclarar cómo se procederá a calcular el término σR (S). En la ecuación 2 se encuentra la expresión continua de la volatilidad que se usará para hacer la modelización, pero para calcular la liquidación se usará una versión discreta, en la cual es preciso especificar:

• La frecuencia de observación (lo más habitual es considerar datos diarios y precios de cierre).

• El factor de anualización (se puede considerar que un año corresponde a 252 sesiones, a 260 sesiones, etc.).

• La media, en el cálculo de la desviación estándar se resta a cada dato la media de los retornos. Se simplificará el cálculo con la hipótesis de media cero. Esta simplificación será de gran utilidad para encontrar una cartera réplica que permita valorar el producto.

swaps de varianza (variance swaps)

A parte de los swaps de volatilidad, también se negocian los swaps de varianza (variance swaps) que son un contrato forward sobre la varianza anualizada y que tiene por payoff:

donde σ2R (S) es la varianza realizada por el activo (anualizada), de forma continua:

y Kvar es la varianza anualizada de entrega.

Tanto los swaps de varianza como los de volatilidad son productos negociados OTC por lo tanto la formulación exacta en el cálculo tanto de volatilidad como de varianza puede variar de una contrapartida a otra; de hecho en los contratos que aparecen en este artículo, uno simplifica la expresión considerando la media cero y el otro, no.

Aplicaciones de los swaps de varianza

La aplicación más directa de los variance swaps es apostar a la volatilidad realizada vs la implícita. Una apuesta tradicional es recibir la diferencia entre la volatilidad implícita (que suele estar más alta) y la realizada. No obstante, a pesar de que la información anterior es cierta en la mayoría de sesiones, los saltos (cambios abruptos de los precios) pueden cambiar la situación. Este hecho se puede explicar porque los market makers (creadores de mercado) de opciones tienen una posición natural de venta de opciones.

Además, el uso de los variance swaps nos permite hacer trading de volatilidad forward, que se implementa con la compra de un variance swap a un plazo y la venta del mismo swap a un plazo distinto. Esta posición da lugar a una volatilidad forward (ya que la varianza es aditiva y por lo tanto no lo podríamos hacer con un swap de volatilidad). La utilización de esta combinación permite cubrir el riesgo de volatilidad en opciones forward start.

También permite tomar decisiones de spread; es decir, apostar a que la volatilidad de un producto será inferior/superior a otra. Por ejemplo, combinando dos swaps podríamos cobrar la volatilidad del Ibex 35 y pagar la del Euro-Stoxx 50.

Ejemplos de mercado de swaps de volatilidad y de varianza
En los apartados anteriores nos hemos referido al nominal de ambos productos como a N, pero en el mercado, en el contexto de los variance/volatility swaps se habla de “vega” para referirse al payoff generado por un cambio del 1% en volatilidad realizada. Por lo tanto en el caso del swap de volatilidad si queremos una exposición de 100.000 euros de vega el multiplicador (es decir la N) será de 100.000/0,01.

En el caso del variance swap que tenga por raíz cuadrada del strike σK , una diferencia de un 1% en volatilidad se traduce en payoff como ((σK + 0,01)2 – σK ) y desarrollando se obtiene 2 · σK · 0,01 + 0,012, y por convención de mercado usaremos como multiplicador 1/(2 · σK · 0,01). Siguiendo, pues, en el ejemplo de querer tener una exposición de 100.000 euros con un strike del 9% (que equivale en términos de volatilidad a un 30%) la N es 100.000/(2 · 30% · 0,01) = 16.666.666 euros o bien 1.666 euros si expresamos la varianza en puntos básicos.

En los cuadros 1 y 2 se puede ver los term sheets correspondientes a una operación de variance swap y un volatility swap.

Si consideramos un swap de varianza y de volatilidad con la misma vega (10.000 euros) se puede ver (gráfico 1) como el payoff correspondiente al swap de volatilidad es lineal mientras que el de varianza no lo es.



swaps de varianza y gestión delta de una opción vanilla

Volviendo a la gestión en el mundo BS, a parte de leas hipótesis propias del modelo, impondremos también tipos libre de riesgo y dividendos igual a cero. Esta hipótesis es en este caso muy poco restrictiva ya que consideraremos periodos muy cortos (variaciones a día) y tipos relativamente bajos.

Consideremos ahora una cartera con una opción. Si añadimos su cobertura delta obtenemos la siguiente expresión por las pérdidas y ganancias diarias (profit and loss, P&L):

donde la gamma es la segunda derivada del precio respeto al subyacente, la vega es la derivada respeto a la volatilidad, la theta es la variación debida al paso del tiempo y ε representa las sensibilidades de orden superior, reescribiendo la ecuación 5 tenemos:

Si obviamos los términos de orden superior y consideramos que la volatilidad implícita es constante tenemos:

Utilizando la equivalencia θ = -(1/2) ΓS 2σ 2 (usaremos este resultado también en el apartado theta vs gamma) en la ecuación tenemos:

El término (ΔS/S)2 se puede considerar como la varianza diaria realizada y el término σ2 Δt corresponde al cuadrado de la volatilidad implícita que se podría llamar como varianza implícita.

Es importante destacar que la gestión activa diaria de un libro de opciones vanilla, de forma muy simplificada, consiste en el control del término [(ΔS/S)22 Δt ]. Dicho término se verá más o menos amplificado por la gamma de cada momento.

Sumando el P&L de toda la vida del producto obtenemos:

donde t denota la dependencia temporal (sumamos desde la contratación de la opción hasta el vencimiento), rt es el rendimiento diario del activo en tiempo t, γt es la gamma de la opción multiplicada por el cuadrado del precio del activo en tiempo t, este parámetro es conocido como dollar gamma. Se puede notar que la ecuación 9 tiene un importante carácter path-dependent, ya que la γt depende mucho del nivel del activo.


Por otro lado tenemos que la ecuación 9 corresponde al resultado de la gestión de una opción más su cobertura delta. Esta expresión responde a la pregunta que nos hacíamos en el apartado anterior cuando planteábamos cuál sería el resultado por movimiento de volatilidad cuando sólo gestionábamos una cartera con delta más gamma, pero al mismo tiempo tiene una expresión muy parecida al payoff de un swap de varianza. Recordemos que su payoff es la suma del cuadrado de los retornos menos una constante. La diferencia está en que en el caso del variance swap cada dato tiene el mismo peso dentro del sumatorio y en el caso de la ecuación 9, los pesos dependen de la gamma de la opción a través del tiempo. Este efecto es perfectamente conocido por los traders (el resultado de la cobertura de una opción depende altamente de controlar las opciones que tienen una dollar gamma relevante).

Cobertura estática de un variance swap

En el apartado anterior hemos visto como la gestión de una opción vanilla nos genera a vencimiento un resultado (P&L) “similar” al payoff de un swap de varianza. Lo que se pretende ahora es aprovechar esta similitud para intentar obtener una cartera de opciones que tenga en todo momento una dollar gamma constante, donde se evita la dependencia temporal y se obtiene al mismo tiempo el precio del variance swap y la gestión perfecta: una cartera que replique totalmente el payoff.

Una forma intuitiva de aproximarse a lo que podría ser una solución es analizar la dollar gamma de opciones con distintos strikes (gráfico 2).


Podemos observar que los strikes inferiores tienen una dollar gamma menor en relación a los strikes superiores, por lo tanto será necesario sobreponderar los strikes inferiores. Una primera idea es intentar que cada opción tenga el mismo máximo de dollar gamma (considerando que el máximo se alcanza cerca del strike). Veamos a continuación cuál es la dollar gamma que tiene una cartera en que el peso de cada opción es w(k) = α/k , donde α es una constante y k es el strike. Observamos el resultado en el gráfico 3.

La gráfica obtenida dista aún de ser constante, pero vemos la relación aparentemente lineal que parece tener la dollar gamma con k, se puede considerar la solución como pesos w(k) = α/k2, así obtenemos el gráfico 4.

Observamos que se alcanza una región donde la dollar gamma es constante. Para ampliar la región constante hay que ampliar el rango de los strikes, en el caso límite, con opciones con strikes comprendidos entre 0 y `. Vemos que en la realidad estos pesos nos aportan una cobertura estática muy interesante y que el rango de validez de la cobertura de la cartera réplica es bastante amplio, pensemos que normalmente en el mercado de opciones de renta variable los strikes más líquidos suelen no distar más de un 25 – 30% del punto ATM, y esta región es la que básicamente cubre la cartera considerada.

La paridad put call nos dice que la gamma de una call y una put de idénticas características es la misma, formalmente:

Derivando:

Si consideramos la cartera (que denotaremos como Π) definida con los pesos del gráfico 4 y utilizamos la gestión delta obtendremos a vencimiento:



Que corresponde a la varianza utilizada menos la varianza implícita de la cartera que juega el papel del strike; es decir, el payoff de un variance swap multiplicado por una constante.

Por tanto la ecuación del precio de un swap de varianza de forma teórica y suponiendo que existen strikes de opciones vanilla desde cero hasta infinito, es:

A pesar que a primera vista la expresión anterior puede parecer complicada, realmente es “sólo” la suma de primas de calls y puts con una cierta ponderación. A nivel real substituiremos las integrales por la suma de opciones con strikes separados por un Δk (podemos usar por ejemplo 5%) y en caso de hacer la cobertura aún se considerarían menos opciones (un Δk superior). En la expresión anterior S* representa el nivel ATM forward.

Para poder calcular las primas de las opciones lo que necesitaremos es tener una superficie de volatilidad bien calibrada, ya que normalmente sólo tendremos precios de mercado para strikes próximos al nivel actual del activo (ATM strikes). Con esta superficie calcularemos las primas de calls y puts.

Cotizaciones de swaps de varianza

Los swaps de varianza cotizan de forma parecida a como cotiza un swap de tipos de interés; es decir, cotiza el strike. El nivel que se observa en el gráfico posterior son los Kvar que se han utilizado en la definición (gráfico 5).

Como se puede ver en el gráfico 5, estos swaps suelen cotizar con una apertura entre 0,5% y 2% y se negocian mayoritariamente sobre índices (por ejemplo Euro-Stoxx 50), aunque también se pueden negociar directamente sobre valores.

Theta vs gamma

Si pensamos que tenemos un libro de opciones vanilla, la theta y la gamma siempre tendrán signo contrario; es decir, libros con theta positiva tendrán gamma negativa y viceversa. Optimizar la gestión de un libro, por ejemplo con theta negativa, implica ser capaz de capturar (4) el máximo de gamma posible. Básicamente existen tres grandes criterios para definir la gestión gamma:

1. Escoger un horizonte temporal, que define la cobertura cada ∆t. Por ejemplo cubrir en la apertura y el cierre de la sesión o bien cada 2 horas (en general cada n horas). Este criterio simplifica la cobertura pero no nos garantiza que capturemos gamma suficiente para contrarrestar la theta que seguro perderemos.

2. Alternativamente podríamos definir que reharemos nuestra cobertura no considerando un ∆t sino considerando un ∆S. Por ejemplo operar sólo cuando el subyacente se haya movido un x% (1%,2%,…)

Las dos formas que hemos comentado no tienen en cuenta ningún parámetro de la opción, ni cuál es la theta ni la gamma en cada momento, y por tanto no garantizan ninguna relación entre dichas sensibilidades.

3. Usar la gamma de la opción como base del criterio. En este criterio se pueden encontrar distintas variantes; una, es considerar la ratio theta/gamma (o gamma/theta). La idea es recubrir la cartera cuando el resultado del beneficio/ pérdida por gamma es x veces la theta; por ejemplo si se considera 1/3, significa que se cubre la cartera siempre que el resultado por gamma sea 1/3 de la theta. Ello implica que si al final del día se ha rehecho la cobertura más de 3 veces, el resultado por gamma será superior a la theta que se ha invertido. Este número arbitrario lo fijará el operador y dependerá básicamente de cómo esté el mercado en cada momento, así como de qué subyacente se trate.

Más formalmente lo que se está realizando, cuando se basa la gestión en esta ratio, es utilizar la equivalencia θ = -(1/2) Γ (ΔS)2, por tanto intentar capturar como mínimo


por gamma lo que por theta se ha perdido.

Así pues, en un libro gestionado con este criterio, la gestión equivale a garantizar el payoff de una suma de variance swaps (formados por la suma de cada una de las opciones). De esta forma podríamos entender también los swaps de varianza como un instrumento alternativo a la gestión dinámica de un libro de opciones.

Conclusión

Tanto los swaps de varianza como los swap de volatilidad representan una nueva generación de derivados. Analizando las sensibilidades de los derivados estándar (mundo Black–Scholes) obtenemos expresiones que se consideran productos de una y otra generación; en concreto podemos escribir la réplica estática de un swap de varianza en base a opciones simples. Este resultado conlleva, implícitamente, muchos otros, podemos calcular primas y sensibilidades de los nuevos productos en base a las expresiones que ya disponíamos sobre las opciones sencillas. También nos ayuda a entender el uso que tiene como herramienta de gestión en carteras de opciones simples, así como nos facilita la exposición directa a la volatilidad y la posibilidad de exposición al spread de volatilidad implícita contra realizada.

 

Pies de página

(1) En la práctica, a día de hoy la volatilidad siempre se entiende como σ(t,k); es decir, que la volatilidad no es única y constante para un activo, sino que depende del tiempo (t) y del strike (k). Definiendo σ(t,k) la superficie de volatilidad del activo.

(2) En el apartado swaps de varianza y gestión delta de una opción vanilla veremos analíticamente el resultado de considerar sólo la delta y la gamma.

(3) En un mundo ideal (Black–Scholes) no habría distinción entre las tres volatilidades. (4) La expresión capturar gamma equivale a ver cuál es la volatilidad que recogemos en nuestra cobertura, que en el apartado anterior hemos definido como σg.

Bibliografía:

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Bossu, Sebastien; “Option trading and variance swaps”; Equity Derivatives Workshop for The University of Chicago; 2005.

Carr, Peter; Lee, Roger; “Robust Replication of Volatility Derivatives”; http://www.math. nyu.edu/research/carrp/research.html; 2003.

Demeterfi, Kresimir; Derman, Emanuel; Kamal, Michael; Zou, Joseph; “A Guide to Volatility and variance swaps”; The Journal of Derivatives; 6; 1999.

Demeterfi, Kresimir; Derman, Emanuel; Kamal, Michael; Zou, Joseph; ”More Than You Ever Wanted To Know About Volatility swap s”; Goldman Sachs: Quantitative Strategies Research Notes; 1999.

Gairat, Alexander; “variance swaps”; IVolatility.

http://www.ivolatility.com/doc/varianceswaps. pdf.

Hull, John; Options, Futures, and Other Derivatives; Technical Note No. 22. Séptima edición.

Javaheri, Alireza; Wilmott, Paul; Haug, Espen G.”GARCH and volatility swaps”. http:// www.wilmott.com.

Petkovic, Danijela; Pricing variance swaps by using two methods: replication strategy and a stochastic volatility model”. Halmstad University; 2008.

Swishchuk, Anatoliy; Modeling of variance and Volatility swaps for Financial Markets with Stochastic Volatilities. http://www.wilmott. com.

Sobre el autor
Jordi Planagumà i Vallsquer, licenciado por la UPC y máster en Finanzas cuantitativas por AFI. Trader de derivados de renta variable en “la Caixa”, profesor del post-grado “Herramientas cuantitativas para los mercados financieros” (FME-UPC) y profesor colaborador del IEF.

La responsabilidad de las opiniones emitidas en este documento corresponden exclusivamente a sus autores. ODF no se identifica necesariamente con estas opiniones.

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